首页 > 已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1，现从8个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示取出的三角形的面积．（I）求概率P(X=12)；（II）求X的分布形列及数学期望E（X）．-数学

已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1，现从8个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示取出的三角形的面积．（I）求概率P(X=12)；（II）求X的分布形列及数学期望E（X）．-数学

题目简介

已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1，现从8个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示取出的三角形的面积．（I）求概率P(X=12)；（II）求X的分布形列及数学期望E（X）．-数学

题目详情

已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1，现从8个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示取出的三角形的面积．
（I）求概率P(X=
1
2
)；
（II）求X的分布形列及数学期望E（X）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有
C38
种取法
其中X=class="stub"1
2
的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个
∴P（X=class="stub"1
2
）=class="stub"24
C38
=class="stub"3
7

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（II）由（I）知，形如△BEG的三角形有8个，其面积为
3
2

形如△ABC的三角形有4×6=24个，这些三角形的面积都是class="stub"1
2

形如△ABG的三角形有4×6=24个，这些三角形的面积都是
2
2

而X可能取值有class="stub"1
2
，
2
2
，
3
2

P（X=
3
2
）=class="stub"8
C38
=class="stub"1
7

P（X=
2
2
）=class="stub"24
56
=class="stub"3
7

∴随机变量X的分布列为

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EX=class="stub"1
2
×class="stub"3
7
+
2
2
×class="stub"3
7
+
3
2
×class="stub"1
7
=
3+3
2
+
3
14

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