(本小题13分)已知数列{a}满足0<a,且(nN*).(1)求证：an＋1≠an；(2)令a1＝，求出a2、a3、a4、a5的值，归纳出an,并用数学归纳法证明.-高二数学

题目简介

(本小题13分) 已知数列{a

}满足0<a

, 且

N*).
(1) 求证：a_n_＋1≠a_n；
(2) 令a₁＝

，求出a₂、a₃、a₄、a₅的值，归纳出a_n, 并用数学归纳法证明.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

见解析。

试题分析：（1）采用反证法，若存在正整数n使an＋1＝an，即

推出矛盾。
（2）运用归纳猜想的思想得到其通项公式即可。再加以证明其正确性。
解：(1) 证明：(采用反证法)．若存在正整数n使an＋1＝an，即

, 解得an＝0, 1.
若an＝0, 则 an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0, 与题设a1＞0;
若an＝1, 则an＝an－1＝…＝a2＝a1＝1, 与题设a1≠1相矛盾.
综上所述, an＋1≠an成立．
(2) a1＝

、a2＝

、a3＝

、a4＝

、a5＝

，猜想: an＝

，n∈N*.
下面用数学归纳法证明:
①n＝1时, 不难验证公式成立;
②假设n＝k(k∈N*)时公式成立, 即ak＝

则n＝k＋1时， a k＋1＝

＝

故此时公式也成立
综合① ②据数学归纳法知公式成立.
点评：解决该试题的关键是利用数列的前几项得到其通项公式，然后运用数学归纳法分两步证明。