首页 > 如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，∠C1DC=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求二面角D-BC1-C的大小．-数学

如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，∠C1DC=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求二面角D-BC1-C的大小．-数学

题目简介

如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，∠C1DC=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求二面角D-BC1-C的大小．-数学

题目详情

如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，∠C1DC=60°．
（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；
（Ⅱ）求二面角D-BC1-C的大小．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


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（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．
∵∠C1DC=60°，∴CC1=
3

则A（1，0，0），B（0，
3
，0），C（-1，0，0），A1（1，0，
3
），
B1（0，
3
，
3
），C1（-1，0，
3
）
连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，则O(-class="stub"1
2
，
3
2
，
3
2
)
∴
AB1
=(-1，
3
，
3
)，
DO
=(-class="stub"1
2
，
3
2
，
3
2
)，
∴
AB1
=2
DO
．
∵AB1⊄平面BC1D，DO⊂平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．…（5分）
（Ⅱ）
DC1
=(-1，0，
3
)，
C1B
=(1，
3
，-
3
)．
设平面BC1D的一个法向量为
n
=（x，y，z），则
n
•
DC1
=0
n
•
C1B
=0

即
-x+
3
z=0
x+
3
y-
3
z=0
，则有y=0
令z=1，则
n
=（
3
，0，1），设平面BCC1B1的一个法向量是为
m
=（x'，y'，z'），
CC1
=(0，0，
3
)，
C1B
=(1，
3
，-
3
)，则
m
•
CC1
=0
m
•
C1B
=0

即
3
z′=0
x′+
3
y′-
3
z′=0
，∴z′=0．
令y'=-1，则
m
=（
3
，-1，0）
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=class="stub"3
4

∴二面角D-BC1-C的大小为arccosclass="stub"3
4
．…（12分）

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