首页 > 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=12PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ）求证OD∥平面PAB；（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．-高二数学

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=12PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ）求证OD∥平面PAB；（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．-高二数学

题目简介

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=12PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅰ）求证OD∥平面PAB；（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．-高二数学

题目详情

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=
1
2
PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

方法一：
（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，
∴OD∥PA又PA⊂平面PAB
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．在Rt△ODF中，sin∠ODF=class="stub"OF
OD
=
210
30
，
∴OD与平面PBC所成的角为arcsin
210
30
．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），设AB=a，则A(
2
2
a，0，0)，B(0，
2
2
a，0)，C(-
2
2
a，0，0)
设OP=h，则P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D为PC的中点，
∴
OD
=(-
2
4
a，0，class="stub"1
2
h)，又
PA
=(
2
2
a，0，-h)，
∴
OD
=-class="stub"1
2
PA
．∴
OD
∥
PA
．∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=2a∴h=
class="stub"7
2
a，
∴
OD
=(-
2
4
a，0，
14
4
a)，可求得平面PBC的法向量
n
=(-1，1，
class="stub"1
7
)，
∴cos〈
OD
，
n
＞=
OD
•
n
|
OD
|•|
n
|
=
210
30
．
设OD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cos〈
OD
，
n
＞|=
210
30
，
∴OD与平面PBC所成的角为arcsin
210
30

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网