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空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面

题目简介

空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面

题目详情

空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）∵BC∥平面EFGH，BC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴BC∥EF，同理BC∥HC，
∴EF∥HG．
同理可证EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）∵AD与BC成角为60°，
∴∠HEF=60°（或120°），设class="stub"AE
AB
=x，
∵class="stub"EF
BC
=class="stub"AE
AB
=x，BC=a，
∴EF=ax，由class="stub"EH
AD
=class="stub"BE
AB
=class="stub"1-x
1
，得EH=（1-x）a．
∴S四边形EFGH=EF•EH•sin60°
=ax•a（1-x）•
3
2
=
3
2
a2•x（1-x）≤
3
2
a2•(class="stub"x+1-x
2
)2=
3
8
a2．
当且仅当x=1-x，即x=class="stub"1
2
时等号成立，即E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为
3
8
a2．

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