空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E、F、G、H.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)E在AB的何处时截面

题目简介

空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E、F、G、H.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)E在AB的何处时截面

题目详情

空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E、F、G、H.
(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;
(2)E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(1)∵BC平面EFGH,BC⊂平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF,
∴BCEF,同理BCHC,
∴EFHG.
同理可证EHFG,
∴四边形EFGH为平行四边形.
(2)∵AD与BC成角为60°,
∴∠HEF=60°(或120°),设class="stub"AE
AB
=x,
class="stub"EF
BC
=class="stub"AE
AB
=x,BC=a,
∴EF=ax,由class="stub"EH
AD
=class="stub"BE
AB
=class="stub"1-x
1
,得EH=(1-x)a.
∴S四边形EFGH=EF•EH•sin60°
=ax•a(1-x)•
3
2
=
3
2
a2
•x(1-x)≤
3
2
a2
(class="stub"x+1-x
2
)
2
=
3
8
a2

当且仅当x=1-x,即x=class="stub"1
2
时等号成立,即E为AB的中点时,截面EFGH的面积最大为
3
8
a2

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