首页 > 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=2，CE=EF=1，∠ECA=60°．（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．-高二数学

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=2，CE=EF=1，∠ECA=60°．（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．-高二数学

题目简介

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=2，CE=EF=1，∠ECA=60°．（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．-高二数学

题目详情

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=
2
，CE=EF=1，∠ECA=60°．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：∵ABCD是正方形，且AB=
2
，
∴AO=1，又EF∥AC，EF=1，
∴EFAO为平行四边形，则AF∥OE，而AF⊄面BDE，OE⊂面BDE，
∴AF∥面BDE（3分）
（2）∵ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠EDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角（2分）
又BD⊥AC，又面ABCD⊥面ACEF，且面ABCD∩面ACEF=AC
∴BD⊥面ACEF，又OE⊂面ACEF，
∴BD⊥OE．
而由EC=1，OC=OA=1，∠ECA=60°
∴OE=1，又OD=1，则ED=
OE2+OD2
=
2

又CD=
2
，CE=1，
∴Cos∠EDC=class="stub"2+2-1
2×
2
×
2
=class="stub"3
4

∴异面直线AB与DE所成的角的余弦值为class="stub"3
4
（3分）

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