如图，三角形ABC中，AC=BC=22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几

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如图，三角形ABC中，AC=BC=

AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）
又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC（5分）
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN
（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点
∴

GM∥BE，且GM=class="stub"1

BE，

NF∥DA，且NF=class="stub"1

（2分）
又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）
∴GF∥AC，
又AC⊂平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE（9分）
（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）
又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴CN=class="stub"1

AB=class="stub"1

，（12分）
∵C-ABED是四棱锥，
∴VC-ABED=class="stub"1

SABED•CN=class="stub"1

×1×class="stub"1

=class="stub"1

（14分）

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如图，三角形ABC中，AC=BC=22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几

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