如图三棱柱ABC-A1B1C1中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC1中点，AB1与A1B交于点O。（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB。-高三数学

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如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC₁中点，AB₁与A₁B交于点O。
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求证：平面AB₁C⊥平面A₁EB。

题型：证明题难度：中档来源：海南省模拟题

答案

证明：（Ⅰ）∵ 棱柱的每个侧面为正方形，
∴，
∴三棱柱为正三棱柱，
连结OD，
∵D为AB中点，O为对面线AB1，A1B交点，
∴OD∥BB1，
又E为CC1中点，
∴EC∥BB1，
OD∥EC，
∴DCEO为平行四边形，CD∥EO，
又CD平面A1EB，EO平面A1EB，
∴CD∥平面A1EB。
（Ⅱ）∵AB=AC=CB，
∴CD⊥AB，
又直棱柱侧面ABB1A1⊥底面ABC，
∴CD⊥平面ABB1A1，CD⊥AB1，
由（Ⅰ）CD∥EO，
∴EO⊥AB1，
又正方形中，A1B⊥AB1，
EO∩A1B=O，EO、A1B平面A1EB，
∴AB1⊥平面A1EB，
又AB1平面AB1C，
∴平面A1EB⊥平面AB1C。

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如图三棱柱ABC-A1B1C1中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC1中点，AB1与A1B交于点O。（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB。-高三数学

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