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已知函数f(x)=23sin2x-sin(2x-π3)（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设α∈（0，π），f（α2）=12+3，求sinα的值；（Ⅲ）若x∈[-π2，0]，函数f（x

题目简介

已知函数f(x)=23sin2x-sin(2x-π3)（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设α∈（0，π），f（α2）=12+3，求sinα的值；（Ⅲ）若x∈[-π2，0]，函数f（x

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sin2x-sin(2x-
π
3
)
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ） 设α∈（0，π），f（
α
2
）=
1
2
+
3
，求sinα的值；
（Ⅲ）若x∈[-
π
2
，0]，函数f（x）的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵f(x)=
3
-class="stub"1
2
sin2x-
3
2
cos2x.=
3
-sin(2x+class="stub"π
3
)
∴函数f（x）的最小正周期为T=class="stub"2π
2
=π
单调增区间满足：class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
3
≤π+2kπk∈Z
即单调增区间为：[kπ+class="stub"π
12
，kπ+class="stub"π
3
]k∈Z
（Ⅱ）∵f（x）=
3
-sin(2x+class="stub"π
3
)
∴f（class="stub"α
2
）=class="stub"1
2
+
3

可化为：
3
-sin(α+class="stub"π
3
)=class="stub"1
2
+
3

∴sin(α+class="stub"π
3
)=-class="stub"1
2

∵α∈（0，π）∴α+class="stub"π
3
∈(class="stub"π
3
，class="stub"4π
3
)α+class="stub"π
3
=class="stub"7π
6

∴α=class="stub"5π
6
∴sinα=sinclass="stub"5π
6
=class="stub"1
2

（Ⅲ）∵x∈[-class="stub"π
2
，0]∴2x+class="stub"π
3
∈[-class="stub"2π
3
，class="stub"π
3
]
∴sin(2x+class="stub"π
3
)∈[-1，
3
2
]-sin(2x+class="stub"π
3
)∈[-
3
2
，1]
f（x）的最大值为
3
+1

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