x0是函数f(x)=2sinx-πlnx(x∈(O,π))的零点,x1<x2,则①x0∈(1,e);②x0∈(e,π);③f(x1)-f(x2)<0;④f(x1)-f(x2)>0.其中正确的命题为(

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x0是函数f(x)=2sinx-πlnx(x∈(O,π))的零点,x1<x2,则①x0∈(1,e);②x0∈(e,π);③f(x1)-f(x2)<0;④f(x1)-f(x2)>0.其中正确的命题为(

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x0是函数f(x)=2sinx-πlnx(x∈(O,π))的零点,x1<x2,则
①x0∈(1,e);
②x0∈(e,π);
③f(x1)-f(x2)<0;
④f(x1)-f(x2)>0.
其中正确的命题为(  )
A.①③B.①④C.②③D.②④
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

∵f(1)=2sin1-πln1=2sin1>0,f(e)=2sine-π<0,
∵f(x)为连续函数且f(1)•f(e)<0,根据函数的零点判定定理,在(1,e)内存在零点,
又∵f′(x)=2cosx-class="stub"π
x
,当x∈(0,class="stub"π
2
]时,2cosx<2,class="stub"π
x
>2,
∴f′(x)<0;
当x∈(class="stub"π
2
,π)时,cosx<0,∴f′(x)<0,
∴函数在(0,π)上是减函数,
故①④正确.
故答案是①④.

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