设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.(1)求证:AB;(2)如果A={－1，3}，求B。-高三数学

题目简介

设f(x)=x²+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.

(1)求证:AB;
(2)如果A={－1，3}，求B。

题型：解答题难度：中档来源：不详

(1)证明略(2) B={－

，－1，

，3}

(1)证明: 设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.
(2)证明:∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得

∴f(x)=x2－x－3.
于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,
也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x　(*)　的根.
将方程(*)变形，得(x2－x－3)2－x2=0
解得x=1,3,

,－

.
故B={－

，－1，

，3}.