首页 > 已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R}.试问下列结论是否正确，如果正确，请

已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R}.试问下列结论是否正确，如果正确，请

题目简介

已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R}.试问下列结论是否正确，如果正确，请

题目详情

已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}.

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠.
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

(1) 正确(2) 正确(3) 不正确
(1)正确.在等差数列{an}中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的
坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上
(2)正确设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解
∴A∩B至多有一个元素
(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0如果A∩B≠,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.

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