首页 > 已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=12；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=f(nm)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；（Ⅲ）设

已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=12；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=f(nm)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；（Ⅲ）设

题目简介

已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=12；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=f(nm)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；（Ⅲ）设

题目详情

已知函数f(x)=
1
4x+2
(x∈R)．
（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=
1
2
；
（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=f(
n
m
)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；
（Ⅲ）设数列{bn}满足：b1=
1
3
，bn+1=
b2n
+bn，设Tn=
1
b1+1
+
1
b2+1
+…+
1
bn+1
，若（Ⅱ）中的Sm满足对任意不小于2的正整数n，Sm＜Tn恒成立，试求m的最大值
题型：解答题难度：中档来源：广东模拟

答案

（Ⅰ）证明：∵f(x)=class="stub"1
4x+2
，
∴f(1-x)=class="stub"1
41-x+2
=
4x
4+2•4x
=
4x
2(4x+2)
，
∴f(x)+f(1-x)=class="stub"1
4x+2
+
4x
2(4x+2)
=
2+4x
2(4x+2)
=class="stub"1
2
．
故答案为class="stub"1
2
．．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)+f(1-x)=class="stub"1
2
，
∴f(class="stub"k
m
)+f(1-class="stub"k
m
)=class="stub"1
2
(1≤k≤m-1)，
即f(class="stub"k
m
)+f(class="stub"m-k
m
)=class="stub"1
2
．
∴ak+am-k=class="stub"1
2
，
am=f(class="stub"m
m
)=f(1)=class="stub"1
6
，
又Sm=a1+a2++am-1+am①Sm=am-1+am-2++a1+am②
①+②得2Sm=(m-1)×class="stub"1
2
+2am=class="stub"m
2
-class="stub"1
6
，
∴答案为Sm=class="stub"1
12
(3m-1)；
（Ⅲ）∵b1=class="stub"1
3
，bn+1=
b2n
+bn=bn(bn+1)③
∴对任意n∈N*，bn＞0④
class="stub"1
bn+1
=class="stub"1
bn(bn+1)
=class="stub"1
bn
-class="stub"1
bn+1
，
∴class="stub"1
bn+1
=class="stub"1
bn
-class="stub"1
bn+1
，
∴Tn=(class="stub"1
b1
-class="stub"1
b2
)+(class="stub"1
b2
-class="stub"1
b3
)++(class="stub"1
bn
-class="stub"1
bn+1
)=class="stub"1
b1
-class="stub"1
bn+1
=3-class="stub"1
bn+1

∵bn+1-bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn．
∴数列{bn}是单调递增数列．∴Tn关于n递增，
∴当n≥2，且n∈N*时，Tn≥T2．
∵b1=class="stub"1
3
，b2=class="stub"1
3
(class="stub"1
3
+1)=class="stub"4
9
，b3=class="stub"4
9
(class="stub"4
9
+1)=class="stub"52
81
，
∴Tn≥T2=3-class="stub"1
b3
=class="stub"75
52
．（14分）
由题意Sm＜class="stub"75
52
，即class="stub"1
12
(3m-1)＜class="stub"75
52
，
∴m＜class="stub"238
39
=6class="stub"4
39
∴m的最大值为6．
故答案为6．

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