如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：平面AB1C∥平面DA1C1（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP
如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：平面AB1C∥平面DA1C1 （3）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
题目简介
如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：平面AB1C∥平面DA1C1（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP
题目详情
如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
（1）证明：BD⊥AA1；
（2）证明：平面AB1C∥平面DA1C1
（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
答案
∵面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面AA1C1C，
又因为AA1
所以BD⊥AA1
（2）连AB1，B1C，由棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的性质知：
AB1∥DC1，AD∥B1C，AB1∩B1C=B1，A1D∩DC1=D，
所以由面面平行的判定定理知：平面AB1C∥平面DA1C1
（3）存在这样的点P，因为A1B1∥AB∥DC，
所以四边形A1B1CD为平行四边形．
所以A1D∥B1C，
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，
因为B1B∥CC1，所以BB1∥CP，
所以四边形BB1CP为平行四边形，即BP∥B1C，
所以BP∥A1D，所以BP∥平面DA1C1，
所以在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1．