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已知复数z满足|2z+1z|=1，则z的幅角主值范围是______．-数学

题目简介

已知复数z满足|2z+1z|=1，则z的幅角主值范围是______．-数学

题目详情

已知复数z满足|2z+
1
z
|=1，则z的幅角主值范围是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

设z=r（cosθ+isinθ），则|2z+class="stub"1
z
|=1⇔4r4+（4cos2θ-1）r2+1=0，
这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）2-16≥0，
∴16cos22θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-class="stub"3
4
或cos2θ≥class="stub"5
4
（舍去）．
又x1x2=class="stub"1
4
＞0，
故必须x1+x2=-class="stub"4cos2θ-1
4
＞0．
∴cos2θ＜class="stub"1
4
．
∴cos2θ≤-class="stub"3
4
，
∴（2k+1）π-arccosclass="stub"3
4
≤2θ≤（2k+1）π+arccosclass="stub"3
4
．
∴kπ+class="stub"π
2
-class="stub"1
2
arccosclass="stub"3
4
≤θ≤kπ+class="stub"π
2
+class="stub"1
2
arccosclass="stub"3
4
，（k=0，1）．
故答案为：[class="stub"π
2
-class="stub"1
2
arccosclass="stub"3
4
，class="stub"π
2
+class="stub"1
2
arccosclass="stub"3
4
]∪[class="stub"3π
2
-class="stub"1
2
arccosclass="stub"3
4
，class="stub"3π
2
+class="stub"1
2
arccosclass="stub"3
4
]

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