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> 设数列{an}、{bn}(bn>0,n∈N*),满足an=lgb1+lgb2+…+lgbnn(n∈N*),证明:{an}为等差数列的充要条件是{bn}为等比数列.-数学
设数列{an}、{bn}(bn>0,n∈N*),满足an=lgb1+lgb2+…+lgbnn(n∈N*),证明:{an}为等差数列的充要条件是{bn}为等比数列.-数学
题目简介
设数列{an}、{bn}(bn>0,n∈N*),满足an=lgb1+lgb2+…+lgbnn(n∈N*),证明:{an}为等差数列的充要条件是{bn}为等比数列.-数学
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设数列{a
n
}、{b
n
}(b
n
>0,n∈N
*
),满足a
n
=
lg
b
1
+lg
b
2
+…+lg
b
n
n
(n∈N
*
),证明:{a
n
}为等差数列的充要条件是{b
n
}为等比数列.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
证明:充分性:若{bn}为等比数列,设公比为q,则an=
nlg
b
1
+lg(q•
q
2
q
n-1
)
n
=
nlg
b
1
+lg
q
n(n-1)
2
n
=lgb1+(n-1)lgq
^
class="stub"1
2
,an+1-an=lgq
^
class="stub"1
2
为常数,
∴{an}为等差数列.
必要性:由an=
lg
b
1
+lg
b
2
++lg
b
n
n
得nan=lgb1+lgb2++lgbn,(n+1)an+1=lgb1+lgb2++lgbn+1,
∴n(an+1-an)+an+1=lgbn+1.
若{an}为等差数列,设公差为d,
则nd+a1+nd=lgbn+1,
∴bn+1=10
^
a
1
+2nd
,bn=10
^
a
1
+2(n-1)d
.
∴
b
n+1
b
n
=102d为常数.
∴{bn}为等比数列.
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已知数列的前项和为,且,数列中,,.()
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设是正数等差数列,是正数等比数
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答案
∴{an}为等差数列.
必要性:由an=
∴n(an+1-an)+an+1=lgbn+1.
若{an}为等差数列,设公差为d,
则nd+a1+nd=lgbn+1,
∴bn+1=10^a1+2nd,bn=10^a1+2(n-1)d.
∴
∴{bn}为等比数列.