数列{an}满足a1=12,an+1=12-an(n∈N*).(1)证明:数列{1an-1}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.并证明数列{an}是单调递增数列.-数学

题目简介

数列{an}满足a1=12,an+1=12-an(n∈N*).(1)证明:数列{1an-1}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.并证明数列{an}是单调递增数列.-数学

题目详情

数列{an}满足a1=
1
2
an+1=
1
2-an
(n∈N*)

(1)证明:数列{
1
an-1
}
是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.并证明数列{an}是单调递增数列.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵class="stub"1
an+1-1
-class="stub"1
an-1
=class="stub"1
class="stub"1
2-an
-1
-class="stub"1
an-1
=
2-an
-1+an
-class="stub"1
an-1
=
-an+1
an-1
=-1

class="stub"1
a1-1
=-2

∴数列{class="stub"1
an-1
}
是首项为-2,公差为-1的等差数列.
(2)由(1)得class="stub"1
an-1
=-n-1

an=class="stub"n
n+1

an+1-an=class="stub"n+1
n+2
-class="stub"n
n+1
=
(n2+2n+1)-(n2+2n)
(n+2)(n+1)
=class="stub"1
(n+2)(n+1)
>0

∴an+1>an,
∴数列{an}是单调递增数列.

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