首页 > 已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f(12)=25（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你

已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f(12)=25（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你

题目简介

已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f(12)=25（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你

题目详情

已知函数f(x)=
ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f(
1
2
)=
2
5

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t2）＜0．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

：（1）∵f(x)=class="stub"ax+b
1+x2
为奇函数，且 f（class="stub"1
2
）=
a•class="stub"1
2
+b
1+(class="stub"1
2
)2
=class="stub"2
5
，
∴f（-class="stub"1
2
）=
a•(-class="stub"1
2
)+b
1+(-class="stub"1
2
)2
=-f（class="stub"1
2
）=-class="stub"2
5
，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=class="stub"x
1+x2
．
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，
∴f（x1）-f（x2）=
x1
1+x1 2
-
x2
1+x2 2
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x1 2)(1+x2 2)   
；
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t2）＜0
∴f（t2）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴
t2＜1-t
-1＜t2＜1
-1＜1-t＜1

∴0＜t＜
5
-1
2

故关于t的不等式的解集为 （0，
5
-1
2
）．

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