已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间.(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间.(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
2
3
与x=1时都取得极值
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间.
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:江西

答案

解;(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b
f′(-class="stub"2
3
)=class="stub"12
9
-class="stub"4
3
a+b=0
f′(1)=3+2a+b=0
解得,
a=-class="stub"1
2
b=-2

f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x(-∞,-class="stub"2
3
-class="stub"2
3
(-class="stub"2
3
,1)
1(1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
所以函数f(x)的递增区间是(-∞,-class="stub"2
3
)和(1,+∞),递减区间是(-class="stub"2
3
,1).
(2)f(x)=x3-class="stub"1
2
x2-2x+c,x∈[-1, 2]

当x=-class="stub"2
3
时,f(x)=class="stub"22
27
+c为极大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.
要使f(x)<c2对x∈[-1,2]恒成立,须且只需c2>f(2)=2+c.
解得c<-1或c>2.

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