已知函数f(x)=6-32a+(3-a)sinx-12acos2x,(Ⅰ)若a>0,x∈[0,π2],求f(x)的最小值;(Ⅱ)若x∈[0,2π)时,f(x)的图象与x轴有四个不同的交点,求实数a的取

题目简介

已知函数f(x)=6-32a+(3-a)sinx-12acos2x,(Ⅰ)若a>0,x∈[0,π2],求f(x)的最小值;(Ⅱ)若x∈[0,2π)时,f(x)的图象与x轴有四个不同的交点,求实数a的取

题目详情

已知函数f(x)=6-
3
2
a+(3-a)sinx-
1
2
acos2x

(Ⅰ)若a>0,x∈[0,
π
2
]
,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若x∈[0,2π)时,f(x)的图象与x轴有四个不同的交点,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)函数f(x)=6-class="stub"3
2
a+(3-a)sinx-class="stub"1
2
acos2x

=asin2x+(3-a)sinx-2a+6
令sinx=t,则有t∈[0,1],
所以y=at2+(3-a)t-2a+6,t∈[0,1],
对称轴t=class="stub"1
2
-class="stub"3
2a

当0<a<3时,y=at2+(3-a)t-2a+6在[0,1]递增,
所以当t=0时,函数最小值为-2a+6;
当a≥3时,t=class="stub"1
2
-class="stub"3
2a
∈[0,1],,所以当t=class="stub"1
2
-class="stub"3
2a
函数有最小值class="stub"9
4a
-class="stub"7a
4
-class="stub"3
2

总之,函数的最小值为
当0<a<3时,最小值为-2a+6;
当a≥3时,最小值class="stub"9
4a
-class="stub"7a
4
-class="stub"3
2

(II)因为x∈[0,2π)时,f(x)的图象与x轴有四个不同的交点,
等价于y=at2+(3-a)t-2a+6在[-1,1]有两个不同的解,
所以
-1≤class="stub"1
2
-class="stub"3
2a
≤1
3≥0
9-2a≥0

解得1≤a≤class="stub"9
2

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