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> 已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.-数学
已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.-数学
题目简介
已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.-数学
题目详情
已知
ABCD
是边长为4的正方形,
E
、
F分别是
AB
、
AD
的中点,
GC
垂直于
ABCD
所在的平面,且
GC
=2.求点
B
到平面
EFG
的距离.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
.
解:如图,连结
EG
、
FG
、
EF
、
BD
、
AC
、EF
、
BD
分别交
AC
于
H
、
O
.因为
ABCD
是正方形,
E
、
F
分别为
AB
和
AD
的中点,故
EF
∥
BD
,
H
为
AO
的中点.
BD
不在平面
EFG
上.否则,平面
EFG
和平面
ABCD
重合,从而点
G
在平面的
ABCD
上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知
BD
∥平面
EFG
,所以
BD
和平面
EFG
的距离就是点
B
到平面
EFG
的距离. ——4分
∵
BD
⊥
AC
,
∴
EF
⊥HC.
∵
GC
⊥平面
ABCD
,
∴
EF
⊥
GC
,
∴
EF
⊥平面
HCG
.
∴平面
EFG
⊥平面
HCG
,
HG
是这两个垂直平面的交线. ——6分
作
OK
⊥
HG
交
HG
于点
K
,由两平面垂直的性质定理知
OK
⊥平面
EFG
,所以线段
OK
的长就是点
B
到平面
EFG
的距离. ——8分
∵正方形
ABCD
的边长为4,
GC
=2,
∴
AC=
4
,
HO
=
,
HC
=3
.
∴在Rt△
HCG
中,
HG
=
.
由于Rt△
HKO
和Rt△
HCG
有一个锐角是公共的,故Rt△
HKO
∽△
HCG
.
∴
OK
=
.
即点
B
到平面
EFG
的距离为
. ——10分
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已知P=(3cosα,3sinα,1)和Q=(2c
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在空间直角坐标系中,O为坐标原
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题目简介
已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.-数学
题目详情
答案
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离. ——4分
∵BD⊥AC,
∴EF⊥HC.
∵GC⊥平面ABCD,
∴EF⊥GC,
∴EF⊥平面HCG.
∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线. ——6分
作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离. ——8分
∵正方形ABCD的边长为4,GC=2,
∴AC=4
∴在Rt△HCG中,HG=
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG.
∴OK=
即点B到平面EFG的距离为