已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.-数学

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已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.-数学

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已知ABCD是边长为4的正方形,EF分别是ABAD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解:如图,连结EGFGEFBDAC、EFBD分别交ACHO.因为ABCD是正方形,EF分别为ABAD的中点,故EFBDHAO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.                                                  ——4分
BDAC
EF⊥HC.
GC⊥平面ABCD
EFGC
EF⊥平面HCG
∴平面EFG⊥平面HCGHG是这两个垂直平面的交线.               ——6分
OKHGHG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.                                          ——8分
∵正方形ABCD的边长为4,GC=2,
AC=4HO=HC=3
∴在Rt△HCG中,HG=
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG
OK=
即点B到平面EFG的距离为.                                 ——10分

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