已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn＝＋3an＋2，且a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1

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已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足6S_n＝

＋3a_n＋2，且a₁，a₂，a₆是等比数列{b_n}的前三项．
(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
(2)记T_n＝a₁b_n＋a₂b_n_－1＋…＋a_nb₁，n∈N^*，证明：3T_n＋1＝2b_n_＋1－a_n_＋1(n∈N^*)．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）an＝3n－2，bn＝4n－1（2）见解析

(1)∵6Sn＝

＋3an＋2，①
∴6a1＝

＋3a1＋2，解得a1＝1或a1＝2.
又6Sn－1＝

＋3an－1＋2(n≥2)， ②
由①－②，得6an＝(

－

)＋3(an－an－1)，即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．
当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列，∴a1≠2；
当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列，∴a1＝1.
∴{an}是以1为首项3为公差的等差数列，{bn}是以1为首项4为公比的等比数列．
∴an＝3n－2，bn＝4n－1.
(2)由(1)得
Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40， ③
∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41. ④
由④－③，得
3Tn＝4n＋3×(4n－1＋4n－2＋…＋41)－(3n－2)＝4n＋12×

－(3n－2)
＝2×4n－(3n＋1)－1＝2bn＋1－an＋1－1，
∴3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．

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已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn＝＋3an＋2，且a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1

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