(本小题满分12分)在平面内,不等式确定的平面区域为,不等式组确定的平面区域为.(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”.在区域任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域-高三数学

题目简介

(本小题满分12分)在平面内,不等式确定的平面区域为,不等式组确定的平面区域为.(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”.在区域任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域-高三数学

题目详情

(本小题满分12分)
在平面内,不等式确定的平面区域为,不等式组确定的平面区域为.
(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域的概率;
(Ⅱ)在区域每次任取个点,连续取次,得到个点,记这个点在区域的个数为,求的分布列和数学期望.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ);(Ⅱ)).
(1)画出平面区域和平面区域.可分别找到区域内的整点个数,由概率公式计算出恰有
2个整点在区域的概率;(2)本题属于几何概型,先求出平面区域的面积和区域与区域相交部
分的面积,由几何概型的概率公式得在区域任取1个点,则该点在区域的概率的值,又随机变量的可能取值为:.根据独立重复试验可分别求出对应的概率,列出分布列,根据期望公式计算出的数学期望.
(Ⅰ)依题可知平面区域的整点为:共有13个,上述整点在平面区域的为:共有3个,
.    ……………………………………………………………(4分)
(Ⅱ)依题可得,平面区域的面积为
平面区域与平面区域相交部分的面积为.
(设扇形区域中心角为,则,也可用向量的夹角公式求).
在区域任取1个点,则该点在区域的概率为,随机变量的可能取值为:.
,         
,  
的分布列为
 
0
1
2
3





的数学期望:.  ………………………(12分)
(或者:,故).

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