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已知函数g(x)=1x•sinθ+lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-m-1+2ex-lnx，m∈R．（1）求θ的值；（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（

题目简介

已知函数g(x)=1x•sinθ+lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-m-1+2ex-lnx，m∈R．（1）求θ的值；（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（

题目详情

已知函数g(x)=
1
x•sinθ
+lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-
m-1+2e
x
-lnx，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数g(x)=class="stub"1
x•sinθ
+lnx在[1，+∞)上为增函数，
∴g′（x）=-class="stub"1
x2sinθ
+class="stub"1
x
≥0在[1，+∞）上恒成立，
class="stub"xsinθ-1
x2sinθ
≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使xsinθ-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需1×sinθ-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=class="stub"π
2
．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当m=0时，f（x）=class="stub"1-2e
x
-lnx，f′（x）=
(2e-1)-x
x2
，
当0＜x＜2e-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）的增区间是（0，2e-1），减区间是（2e-1，+∞），当x=2e-1时，f（x）取得极大值f（2e-1）=-1-ln（2e-1）．
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-class="stub"m+2e
x
-2lnx，
①当m≤0时，x∈[1，e]，mx-class="stub"m
x
≤0，-2lnx-class="stub"2e
x
＜0，
∴在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．
②当m＞0时，F′（x）=m+class="stub"m+2e
x2
-class="stub"2
x
=
mx2-2x+m+2e
x2
，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx2+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x） max=F（e）=me-class="stub"m
e
-4，
只要me-class="stub"m
e
-4＞0，解得m＞class="stub"4e
e2-1
．
故m的取值范围是（class="stub"4e
e2-1
，+∞）

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