首页 > 已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．（1）当a=-1时，求t的值；（2）求t关于a的表达式g（a）；（3）求g

已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．（1）当a=-1时，求t的值；（2）求t关于a的表达式g（a）；（3）求g

题目简介

已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．（1）当a=-1时，求t的值；（2）求t关于a的表达式g（a）；（3）求g

题目详情

已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．
（1）当a=-1时，求t的值；           
（2）求t关于a的表达式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当a=-1时，f（x）=-（x-2）2+5
由于函数f（x）的最大值大于3，要使存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立，所以t只能是-x2+4x+1=3的较小的根2-
2

（2）由a＜0，f(x)=a(x+class="stub"2
a
)2+1-class="stub"4
a

当 1-class="stub"4
a
＞3，即-2＜a＜0时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax2+4x+1=3的较小的根，即t=
2a+4
-2
a
；
当 1-class="stub"4
a
≤3，即a≤-2时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax2+4x+1=-3的较大的根，即t=
-2
1-a
-2
a
；
所以g(a)=
2a+4
-2
a
(-2＜a＜0)
-2
1-a
-2
a
(a≤-2)

（2）当-2＜a＜0时，t=
2a+4
-2
a
=class="stub"2
2a+4
+2
＜class="stub"1
2
；
当a≤-2时，t=
-2
1-a
-2
a
=class="stub"2
1-a
-1
≤class="stub"2
3
-1
=
3
+1；
所以g（a）的最大值为
3
+1．

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