已知数列中,,且,其前项和为,且当时,.⑴求证:数列是等比数列;⑵求数列的通项公式;⑶若,令,记数列的前项和为.设是整数,问是否存在正整数,使等式成立?若存在,求出和相-高三数学

题目简介

已知数列中,,且,其前项和为,且当时,.⑴求证:数列是等比数列;⑵求数列的通项公式;⑶若,令,记数列的前项和为.设是整数,问是否存在正整数,使等式成立?若存在,求出和相-高三数学

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已知数列中,,其前项和为,且当时,
⑴求证:数列是等比数列;
⑵求数列的通项公式;
⑶若,令,记数列的前项和为.设是整数,问是否存在正整数,使等式成立?若存在,求出和相应的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明见解析
(2)
(3)
⑴当时,
化简得
又由,可推知对一切正整数均有
∴数列是等比数列.            ---------------- 4分
⑵由⑴知等比数列的首项为1,公比为,  ∴
时,,又
              ----------8分
⑶当时,,此时





时,


,则等式不是整数,不符合题意.
,则等式
是整数,∴是5的因数.
∴当且仅当时,是整数, ∴
综上所述,当且仅当时,存在正整数,使等式成立.

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