首页 > 已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．（1）求∠D的度数；（2）求证：AC2=AD•CE；（3）求BCCD的值．-数学

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．（1）求∠D的度数；（2）求证：AC2=AD•CE；（3）求BCCD的值．-数学

题目简介

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．（1）求∠D的度数；（2）求证：AC2=AD•CE；（3）求BCCD的值．-数学

题目详情

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC2=AD•CE；
（3）求
BC
CD
的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）如图，连接OB（1分）
∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°（2分）

（2）证明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，
∴∠BAC=∠D（3分）
∵AD∥OC，
∴∠ACE=∠DAC（4分）
∴△ACE∽△DAC
∴class="stub"AC
DA
=class="stub"CE
AC

∴AC2=AD•CE（5分）

（3）方法一：如图，延长BO交DA的延长线于F，连接OA
∵AD∥OC，
∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°，
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°
∵OA=OB，
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°、
∴OF=class="stub"1
2
OA
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD
∴class="stub"BC
BD
=class="stub"BO
BF


∴class="stub"BC
CD
=class="stub"BO
OF
=class="stub"OA
OF
=2，即class="stub"BC
CD
的值为2（7分）
方法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=
3
2
r，OM=class="stub"r
2
，∠MOE=30°，
ME=OM•tan30°=
3
6
r，BE=
2
3
3
r，AE=
3
3
r，所以class="stub"BC
CD
=class="stub"BE
EA
=2

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