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> ((本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD,底面为直角梯形,,且AD=2,AB=BC=1,PA=(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;(Ⅱ)若二面角B—PC—D的大小为150
((本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD,底面为直角梯形,,且AD=2,AB=BC=1,PA=(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;(Ⅱ)若二面角B—PC—D的大小为150
题目简介
((本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD,底面为直角梯形,,且AD=2,AB=BC=1,PA=(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;(Ⅱ)若二面角B—PC—D的大小为150
题目详情
((本小题满分12分)
如图,在四棱锥
P—ABCD
中,
底面
ABCD
,底面为直角梯形,
,
且
AD
=2,
AB=BC
=1,
PA
=
(Ⅰ)设
M
为
PD
的中点,求证:
平面
PAB
;
(Ⅱ)若二面角
B—PC—D
的大小为150°,求此四棱锥的体积.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
解法一:(Ⅰ)证明:取
PA
的中点
N
,连结
BN
、NM
,
在△
PAD
中,
,且
;
又
,且
,
所以
MN
BC
,即四边形
BCMN
为平行四边形,
.
又
平面
PAB
,
平面
PAB
,故
平面
PAB
. ……5分
(Ⅱ)如图,连结
AC
,则二面角
B—PC—D
的大小等于二面角
B—PC—A
的大小与二面角
D—PC—A
的大小的和. 由
知
,又
,所以
平面
PAC
,即平面
P
平面
PAC
,
所以二面角
D—PC—A
的大小为90°. 于是二面角
B—PC—A
的大小为60°,过
B
作
于
E
,过
E
作
于
F
,连结
BF
,由三垂线定理知
为二面角
B—PC—A
的平面角. ……9分
在Rt△
ABC
中,
,又易知△
PBC
为Rt△,且
,
∴
,解得
……11分
所以四棱锥
P—ABCD
的体积为
……12分
解法二:以
A
为坐标原点,以
AB
、AD
、
AP
所在直线为
x
、
y
、z
轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则
B
(1,0,0),
C
(1,1,0),
D
(0,2,0),
P
(0,0,
). ……2分
(Ⅱ)由
M
为
PD
中点知
M
的坐标为(0,1,
),所以
.
又平面
PAB
的法向量可取为
,而
,即
.
又
平面
PAB
,所以
平面
PAB
. ……6分
(Ⅱ)设平面
PBC
的法向量为
.
∵
∴
不妨取
,则
,∴
又设平面
PCD
的法向量为
.
∵
∴
不妨取
,则
∴
. ……9分
由
的方向可知
,解得
. ……11分
所以四棱锥
P—ABCD—
体积为
. ……12分
略
上一篇 :
若直线过点,且是它的一个法向量
下一篇 :
在空间中,若射线、、两两所成角
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如图,在四棱锥P—ABCD中,
(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:
(Ⅱ)若二面角B—PC—D的大小为150°,求此四棱锥的体积.
答案
在△PAD中,
又
所以MN
又
(Ⅱ)如图,连结AC,则二面角B—PC—D的大小等于二面角B—PC—A的大小与二面角D—PC—A的大小的和. 由
在Rt△ABC中,
∴
所以四棱锥P—ABCD的体积为
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又平面PAB的法向量可取为
又
∵
不妨取
又设平面PCD的法向量为
∵
不妨取
由
所以四棱锥P—ABCD—体积为