((本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD,底面为直角梯形,,且AD=2,AB=BC=1,PA=(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;(Ⅱ)若二面角B—PC—D的大小为150

题目简介

((本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD,底面为直角梯形,,且AD=2,AB=BC=1,PA=(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;(Ⅱ)若二面角B—PC—D的大小为150

题目详情

((本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD,底面为直角梯形,AD=2,AB=BC=1,PA=
(Ⅰ)设MPD的中点,求证:平面PAB
(Ⅱ)若二面角B—PC—D的大小为150°,求此四棱锥的体积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解法一:(Ⅰ)证明:取PA的中点N,连结BN、NM

在△PAD中,,且
,且
所以MNBC,即四边形BCMN为平行四边形,.
平面PAB平面PAB,故平面PAB.   ……5分
(Ⅱ)如图,连结AC,则二面角B—PC—D的大小等于二面角B—PC—A的大小与二面角D—PC—A的大小的和. 由,又,所以平面PAC,即平面P平面PAC所以二面角D—PC—A的大小为90°. 于是二面角B—PC—A的大小为60°,过BE,过EF,连结BF,由三垂线定理知为二面角B—PC—A的平面角.                                               ……9分
在Rt△ABC中,,又易知△PBC为Rt△,且
,解得                    ……11分
所以四棱锥P—ABCD的体积为                 ……12分

解法二:以A为坐标原点,以AB、ADAP所在直线为xy、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,).   ……2分
(Ⅱ)由MPD中点知M的坐标为(0,1,),所以.
又平面PAB的法向量可取为,而,即.
平面PAB,所以平面PAB.                                 ……6分
(Ⅱ)设平面PBC的法向量为.
 ∴
不妨取,则,∴                            
又设平面PCD的法向量为.
 ∴ 
不妨取,则 ∴.                     ……9分
的方向可知,解得.   ……11分
所以四棱锥P—ABCD—体积为.                  ……12分

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