如图:△ABC是边长为2的正三角形,EC⊥面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.①求证:DE=DA;②求证:DM∥面ABC;③求C到面ADE的距离.-数学

题目简介

如图:△ABC是边长为2的正三角形,EC⊥面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.①求证:DE=DA;②求证:DM∥面ABC;③求C到面ADE的距离.-数学

题目详情

如图:△ABC是边长为2的正三角形,EC⊥面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.
①求证:DE=DA;
②求证:DM面ABC;
③求C到面ADE的距离.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

①证明:∵EC⊥面ABC,BDCE,∴DB⊥平面ABC.∵△ABC是边长为2的正三角形且CE=CA=2BD,
∴在直角三角形ABC中,可求得AD=
5
. 在直角梯形ECBD中,可求得DE=
5
,∴DE=AD.
②证明:设AC的中点为F,则MFEC,MF=class="stub"1
2
EC
,由①DBEC,DB=class="stub"1
2
EC

∴MFDB,MF=DB,故BDMF为矩形,∴BFDM. 又∵DM?平面ABC,BF?平面ABC,∴DM平面ABC.
③易证DM⊥平面AEC,∴平面ADE⊥平面AEC,
过C作CH⊥AE,则CH⊥平面ADE,故CH之长为点C到平面ADE的距离,
由面积法求得 CH= class="stub"CA?CE
AE
=
2

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