首页 > 现有甲、乙两个靶，某射手进行射击训练，每次射击击中甲靶的概率是p1，每次射击击中乙靶的概率是p2，其中p1＞p2，已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次，两次都能击中与两次-高二数学

现有甲、乙两个靶，某射手进行射击训练，每次射击击中甲靶的概率是p1，每次射击击中乙靶的概率是p2，其中p1＞p2，已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次，两次都能击中与两次-高二数学

题目简介

现有甲、乙两个靶，某射手进行射击训练，每次射击击中甲靶的概率是p1，每次射击击中乙靶的概率是p2，其中p1＞p2，已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次，两次都能击中与两次-高二数学

题目详情

现有甲、乙两个靶，某射手进行射击训练，每次射击击中甲靶的概率是p1，每次射击击中乙靶的概率是p2，其中p1＞p2，已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次，两次都能击中与两次都不能击中的概率分别为
8
15
，
1
15
．该射手在进行射击训练时各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求p1，p2的值；
（Ⅱ）假设该射手射击乙靶三次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．在三次射击中，若有两次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若三次全击中，则额外加3分．记η为该射手射击三次后的总的分数，求η的分布列；
（Ⅲ）某研究小组发现，该射手在n次射击中，击中目标的次数X服从二项分布．且射击甲靶10次最有可能击中8次，射击乙靶10次最有可能击中7次．试探究：如果X：B（n，p），其中0＜p＜1，求使P（X=k）（0≤k≤n）最大自然数k．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）记“该射手向甲靶射击一次并击中”为事件A，
“该射手向乙靶射击一次并击中”为事件B，
则由题意得，
P(AB)=class="stub"8
15
P(
.
A
.
B
)=class="stub"1
15
，
由各次射击结果互不影响得
P(A)P(B)=class="stub"8
15
P(
.
A
)P(
.
B
)=class="stub"1
15
，
即
p1p2=class="stub"8
15
(1-p1)(1-p2)=class="stub"1
15
，
解得p1=class="stub"4
5
，p2=class="stub"2
3
．…（3分）
（Ⅱ）η的所有可能取值为0，1，2，3，6．…（4分）
记“该射手第i次射击击中目标”为事件Ai（i=1，2，3），
则P(η=0)=P(
.
A1
.
A2
.
A3
)=(1-class="stub"2
3
)3=class="stub"1
27
，P(η=1)=P(A1
.
A2
.
A3
+
.
A1
A2
.
A3
+
.
A1
.
A2
A3)=P(A1
.
A2
.
A3
)+P(
.
A1
A2
.
A3
)+P(
.
A1
.
A2
A3)
=class="stub"2
3
×(1-class="stub"2
3
)2+(1-class="stub"2
3
)×class="stub"2
3
×(1-class="stub"2
3
)+(1-class="stub"2
3
)2×class="stub"2
3
=class="stub"2
9
，P(η=2)=P(A1
.
A2
A3)=class="stub"2
3
×(1-class="stub"2
3
)×class="stub"2
3
=class="stub"4
27
，P(η=3)=P(A1A2
.
A3
+
.
A1
A2A3)=P(A1A2
.
A3
)+P(
.
A1
A2A3)=(class="stub"2
3
)2×(1-class="stub"2
3
)+(1-class="stub"2
3
)×(class="stub"2
3
)2=class="stub"8
27
，P(η=6)=P(A1A2A3)=(class="stub"2
3
)3=class="stub"8
27
．
所以η的分布列为：
η01236
Pclass="stub"1
27
class="stub"2
9
class="stub"4
27
class="stub"8
27
class="stub"8
27
…（9分）
（Ⅲ）考察不等式
P(X=k+1)
P(X=k)
=
Ck+1n
pk+1(1-p)n-k-1
Ckn
pk(1-p)n-k
=class="stub"n-k
k+1
•class="stub"p
1-p
≥1，
得k≤（n+1）p-1．
①如果（n+1）p是正整数，那么（n+1）p-1也是正整数．
此时，可以使：k=（n+1）p-1，即k+1=（n+1）p，
且P（X=k+1）=P（X=k）．
则当k取（n+1）p或（n+1）p-1时，P（X=k）取最大值．
②如果（n+1）p不是正整数，那么不等式
P(X=k+1)
P(X=k)
≥1不可能取等号．
所以，对任何k，P（X=k+1）≠P（X=k）．
所以，当k+1＜（n+1）p时，P（X=k+1）＞P（X=k）．
记小于（n+1）p的最大整数为[（n+1）p]，
则当k=[（n+1）p]时，P（X=k）取最大值．
综上可知，如果（n+1）p是正整数，当k取（n+1）p或（n+1）p-1时，P（X=k）取最大值；
如果（n+1）p不是正整数，当k=[（n+1）p]时，P（X=k）取最大值．…（14分）

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