根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．-数学

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根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是减函数．

题型：解答题难度：偏易来源：不详

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证明见解析．

本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．
证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2 ——1分
则f (x2) －f (x1) =

= (x1－x2) (

) ——3分
∵ x1<x2，∴ x1－x2<0． ——4分
当x1x2<0时，有

= (x1+x2) 2－x1x2>0； ——6分
当x1x2≥0时，有

>0；
∴f (x2)－f (x1)= (x1－x2)(

)<0．                         ——8分
即 f (x2) < f (x1)，所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．     ——10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2，                      ——1分
则f (x2)－f (x1)=x－x= (x1－x2) (

)． ——3分
∵x1<x2，∴x1－x2<0． ——4分
∵x1，x2不同时为零，∴x＋x>0．
又∵x＋x>

(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2。∴

>0，
∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) (

)<0． ——8分
即f (x2) < f (x1)．所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分

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根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．-数学

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