如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P。（1）求证：PA·PE=PC·PF；（2）求证：；（3）当
如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P。
题目简介
如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P。（1）求证：PA·PE=PC·PF；（2）求证：；（3）当
题目详情
如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P。
（2）求证：
（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC∶CE∶EP=3∶4∶5时，求△PEC与△FAP的面积的比值。
答案
∵CA切⊙O'于A，
∴∠CAB=∠F，
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠F，
∴AF∥CE，
∴
∴PA·PE=PC·PF①；
（2）证明：在⊙O中，
①×②得
∴
（3）连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，
而PC：CE：EP=3：4：5，
∴PA：FA：PF=3：4：5，
设PC=3x，CE=4x，EP=5x，
∴
∴∠C=∠CAF=90°，
∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径，
∵⊙O与⊙O'等圆，
∴AE=AF=4y，
∵AC2+CE2=AE2，
∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2，即25x2+18xy-7y2=0，
即（25x-7y）（x+y）=0，
∴
∴