如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．（1）求PA的长；（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明

题目简介

如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．（1）求PA的长；（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明

题目详情

如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P． （1）求PA的长； （2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由； （3）如图2，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．

题型：解答题难度：中档来源：河南省期末题

答案

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5， ∴AC=2BC=10； ∵AE∥BC， ∴△APE∽△CPB， ∴PA：PC=AE：BC=3：1， ∴PA：AC=3：4， PA=． （2）BE与⊙A相切； ∵在Rt△ABE中，AB=5，AE=15， ∴tan∠ABE=， ∴∠ABE=60°； 又∵∠PAB=30°， ∴∠ABE+∠PAB=90°， ∴∠APB=90°， ∴BE与⊙A相切； （3）因为AD=5，AB=5，所以r的变化范围为5＜r＜5； 当⊙A与⊙C外切时，R+r=10，所以R的变化范围为10﹣＜R＜5； 当⊙A与⊙C内切时，R﹣r=10，所以R的变化范围为15＜R＜10+5．