如图,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,,以此类推,过点的切线与轴相交于点,再-高三数学

题目简介

如图,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,,以此类推,过点的切线与轴相交于点,再-高三数学

题目详情

如图,过曲线上一点作曲线的切线轴于点,又过轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线轴于点,又过轴的垂线交曲线于点,以此类推,过点的切线 与轴相交于点,再过点轴的垂线交曲线于点N).

(1) 求及数列的通项公式;
(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为,求的表达式;
(3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为,求证:N.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


(1) 解:由,设直线的斜率为,则.
∴直线的方程为.令,得,          ……2分
, ∴.
.
∴直线的方程为.令,得.        ……4分
一般地,直线的方程为
由于点在直线上,
.
∴数列是首项为,公差为的等差数列.
.                                             ……6分
(2)解:
.      ……8分
(3)证明:.…10分
.
要证明,只要证明,即只要证明。 11分
证法1:(数学归纳法)
① 当时,显然成立;
② 假设时,成立,
则当时,
.
.
.
这说明,时,不等式也成立.
由①②知不等式对一切N都成立.       ……14分
证法2:
.
∴不等式对一切N都成立.       ……14分
证法3:令,
,
时, ,
∴函数上单调递增.
∴当时, .
N,
, 即.
.
∴不等式对一切N都成立.  

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