如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。（1）求点B的坐标；（2）求证：当-九年级数学

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如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题难度：偏难来源：湖南省中考真题

答案

解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A（0，2），△AOB为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°， ∴BC=，OC=AC=1，即B（）；
（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时， ∵∠PAQ=∠OAB=60°， ∴∠PAO=∠QAB，在△APO和△AQB中， ∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB， ∴△APO≌△AQB总成立， ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立， ∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°；
（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上， ∴AO与BQ不平行， ①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，又OB=OA=2，可求得BQ=，由（2）可知，△APO≌△AQB， ∴OP=BQ=， ∴此时P的坐标为（-，0）； ②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°，又AB= 2，可求得BQ=2，由（2）可知，△APO≌△AQB， ∴OP=BQ=2， ∴此时P的坐标为（2，0），综上所述，P的坐标为（-，0）或（2，0）。

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。（1）求点B的坐标；（2）求证：当-九年级数学

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