首页 > 已知函数f(x)=5-6x，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．（1）若对于n∈N*，均有an+1=an成立，求实数a的值；（2）若对于n∈N*，均有an+1＞an成立，求实数

已知函数f(x)=5-6x，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．（1）若对于n∈N*，均有an+1=an成立，求实数a的值；（2）若对于n∈N*，均有an+1＞an成立，求实数

题目简介

已知函数f(x)=5-6x，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．（1）若对于n∈N*，均有an+1=an成立，求实数a的值；（2）若对于n∈N*，均有an+1＞an成立，求实数

题目详情

已知函数f(x)=5-
6
x
，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．
（1）若对于n∈N*，均有an+1=an成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N*，均有an+1＞an成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{bn}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①bn＜bn+1，n∈N*；②当a为{bn}中的任意一项时，{an}中必有某一项的值为1．
题型：解答题难度：中档来源：崇明县二模

答案

（1）由题意得an+1=an=a，∴a=
5a -6
a 
，得a=2或a=3，符合题意
（2）设an+1＞an，即
5an-6
an
＞an，解得an＜0或2＜an＜3
∴要使a2＞a1成立，则a1＜0或2＜a1＜3
①当a1＜0时，
a2=
5a1-6
a1
=5-class="stub"6
a1
＞5，
而a3-a2=
5a2-6
a2
-a2=
-(a2-2)(a2-3)
a2
＜0，
即a3＜a2，不满足题意．
②当2＜a1＜3时，
a2=5-class="stub"6
a1
∈(2，3)，a3=5-class="stub"6
a2
∈(2，3)，
an∈（2，3），
此时，an+1-an=
5an-6
an
-an=
-(an-2)(an-3)
an
＞0，
∴an+1＞an，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）构造数列{bn}：b1=class="stub"3
2
，bn+1=class="stub"6
5-bn
，
下面证明满足要求．
此时bn=5-class="stub"6
bn+1
，不妨设a取bn，
那么a2=5-class="stub"6
a1
=5-class="stub"6
bn
=bn-1，a3=5-class="stub"6
a2
=5-class="stub"6
bn-1
=bn-2，
an=5-class="stub"6
an-1
=5-class="stub"6
b2
=b1=class="stub"3
2
，an+1=5-class="stub"6
an
=5-class="stub"6
b1
=1.
由b1=class="stub"3
2
＜2，
可得bn+1=class="stub"6
5-bn
＜2
因为bn+1-bn=class="stub"6
5-bn
-bn=
(bn-2)(bn-3)
5-bn
＞0，
所以bn＜bn+1
又bn＜2≠5，所以数列{bn}是无穷数列，
因此构造的数列{bn}符合题意．

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