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附加题（10分，总分120以上有效）（1）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=______（2）

题目简介

附加题（10分，总分120以上有效）（1）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=______（2）

题目详情

附加题（10分，总分120以上有效）
（1）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=______
（2）若Sn=sin
π
7
+sin
2π
7
+…+sin
nπ
7
（n∈N+），则在S1，S2，…S100中，正数的个数是______．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=（x-3）3+x-1，∴f（x）-2=（x-3）3+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，
∴f（a1）-2+f（a2）-2+…+f（a7）-2=0
∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3，
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，
故答案为：21．
（2）∵sinclass="stub"π
7
＞0，sinclass="stub"2π
7
＞0，…，sinclass="stub"6π
7
＞0，sinclass="stub"7π
7
=0，sinclass="stub"8π
7
＜0，…，sinclass="stub"13π
7
＜0，sinclass="stub"14π
7
=0，
∴S1=sinclass="stub"π
7
＞0，
S2=sinclass="stub"π
7
+sinclass="stub"2π
7
＞0，…，
S8=sinclass="stub"π
7
+sinclass="stub"2π
7
+…+sinclass="stub"6π
7
+sinclass="stub"7π
7
+sinclass="stub"8π
7
=sinclass="stub"2π
7
+…+sinclass="stub"6π
7
+sinclass="stub"7π
7
＞0，
…，
S12＞0，
而S13=sinclass="stub"π
7
+sinclass="stub"2π
7
+…+sinclass="stub"6π
7
+sinclass="stub"7π
7
+sinclass="stub"8π
7
+sinclass="stub"9π
7
+…+sinclass="stub"13π
7
=0，
S14=S13+sinclass="stub"14π
7
=0+0=0，
又S15=S14+sinclass="stub"15π
7
=0+sinclass="stub"π
7
=S1＞0，S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．
故答案为：86．

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