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> 已知数列满足:,且(1)求通项公式(2)设的前n项和为Sn,问:是否存在正整数m、n,使得若存在,请求出所有的符合条件的正整数对(m,n),若不存在,请说明理由.-高三数学
已知数列满足:,且(1)求通项公式(2)设的前n项和为Sn,问:是否存在正整数m、n,使得若存在,请求出所有的符合条件的正整数对(m,n),若不存在,请说明理由.-高三数学
题目简介
已知数列满足:,且(1)求通项公式(2)设的前n项和为Sn,问:是否存在正整数m、n,使得若存在,请求出所有的符合条件的正整数对(m,n),若不存在,请说明理由.-高三数学
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已知数列
满足:
,且
(1)求通项公式
(2)设
的前n项和为S n,问:是否存在正整数m、n,使得
若存在,请求出所有的符合条件的正整数对(m,n),若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)
;(2)见解析.
第一问利用数列的递推关系,我们可以得到当n是奇数时
;当n是偶数时,
,然后利用递推关系,求解得到数列的通项公式即可
第二问中,利用前n项和的递推关系,我们借助于
,
若存在正整数m、n,使得
,
得到
,借助于m的范围,对其令值,然后解。
解:(1)当n是奇数时
;当n是偶数时,
.
所以,当n是奇数时,
;当n是偶数时,
.……………2分
又
,,所以
,是首项为1,公差为2的等差数列;
…是首项为2,公比为3的等比数列. …………4分
所以,
. ………………………………6分
(2)由(1),得
,
. ……………8分
所以,若存在正整数m、n,使得
,则
.……9分
显然,当m=1时,
;
当m=2时,由
,整理得.
显然,当n=1时,不成立;
当n=2时,成立,
所以(2,2)是符合条件的一个解. ……………11分
当
时,
……………12分
当m=3时,由
,整理得n=1,
所以(3,1)是符合条件的另一个解.
综上所述,所有的符合条件的正整数对(m,n),有且仅有(3,1)和(2,2)两对. 14分
(注:如果仅写出符合条件的正整数对(3,1)和(2,2),而没有叙述理由,每得到一组正确的解,给2分,共4分)
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已知数列满足,且,若数列的前2011
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(1)求通项公式
(2)设
若存在,请求出所有的符合条件的正整数对(m,n),若不存在,请说明理由.
答案
第二问中,利用前n项和的递推关系,我们借助于
若存在正整数m、n,使得
得到
解:(1)当n是奇数时
所以,当n是奇数时,
又
所以,
(2)由(1),得
,
所以,若存在正整数m、n,使得
显然,当m=1时,
当m=2时,由
显然,当n=1时,不成立;
当n=2时,成立,
所以(2,2)是符合条件的一个解. ……………11分
当
……………12分
当m=3时,由
所以(3,1)是符合条件的另一个解.
综上所述,所有的符合条件的正整数对(m,n),有且仅有(3,1)和(2,2)两对. 14分
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