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已知数列满足：，且（1）求通项公式（2）设的前n项和为Sn，问：是否存在正整数m、n，使得若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由．-高三数学

题目简介

已知数列满足：，且（1）求通项公式（2）设的前n项和为Sn，问：是否存在正整数m、n，使得若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由．-高三数学

题目详情

已知数列

满足：

，且

（1）求通项公式

（2）设

的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得

若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）

；（2）见解析.

第一问利用数列的递推关系，我们可以得到当n是奇数时

；当n是偶数时，

,然后利用递推关系，求解得到数列的通项公式即可
第二问中，利用前n项和的递推关系，我们借助于

，
若存在正整数m、n，使得

，
得到

，借助于m的范围，对其令值，然后解。
解：（1）当n是奇数时

；当n是偶数时，

．
所以，当n是奇数时，

；当n是偶数时，

．……………2分
又

，，所以

，是首项为1，公差为2的等差数列；

…是首项为2，公比为3的等比数列． …………4分
所以，

． ………………………………6分
（2）由（1），得

，

． ……………8分
所以，若存在正整数m、n，使得

，则

．……9分
显然，当m=1时，

；
当m=2时，由

，整理得．

显然，当n=1时，不成立；
当n=2时，成立，
所以(2,2)是符合条件的一个解． ……………11分
当

时，

……………12分
当m=3时，由

，整理得n=1，
所以(3,1)是符合条件的另一个解．
综上所述，所有的符合条件的正整数对(m,n)，有且仅有(3,1)和(2,2)两对． 14分
（注：如果仅写出符合条件的正整数对(3,1)和(2,2)，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）

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