求证:函数f(x)=2x-x在区间(0,+∞)上单调递减.-数学

题目简介

求证:函数f(x)=2x-x在区间(0,+∞)上单调递减.-数学

题目详情

求证:函数f(x)=
2
x
-x
在区间(0,+∞)上单调递减.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:任取0<x1<x2,
f(x1)-f(x2)=class="stub"2
x1
-x1-(class="stub"2
x2
-x2)=(class="stub"2
x1
-class="stub"2
x2
)-(x1-x2)
=
2(x2-x1)
x1x2
-(x1-x2)=(x2-x1)•(class="stub"2
x1x2
+1)

因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,class="stub"2
x1x2
+1>0
,即f(x1)-f(x2)>0
所以,函数f(x)=class="stub"2
x
-x
在区间(0,+∞)上单调递减.

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