首页 > 设函数f（x）=kx2-kx-6+k．（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．-数学

设函数f（x）=kx2-kx-6+k．（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．-数学

题目简介

设函数f（x）=kx2-kx-6+k．（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．-数学

题目详情

设函数f（x）=kx2-kx-6+k．
（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设f（x）=k（x2-x+1）-6=g（k），
则g（k）是关于k的一次函数，且一次项系数为x2-x+1…（2分）
法1、∵x2-x+1=(x-class="stub"1
2
)2+class="stub"3
4
＞0∴g（k）在[-2，2]上递增．…（4分）
∴g（k）＜0⇔g（2）=2（x2-x+1）-6＜0∴解得x的取值范围为：-1＜x＜2…（6分）
法2、依题只须
g(2)=2x2-2x-4＜0
g(-2)=-2x2+2x-8＜0
⇒
-1＜x＜2
x2-x+4＞0(恒成立)
∴-1＜x＜2
（2）法1、要使f（x）=k（x2-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
则只须k＜class="stub"6
x2-x+1
在x∈[1，2]上恒成立；…（8分）
而当x∈[1，2]时：class="stub"6
x2-x+1
=class="stub"6
(x-class="stub"1
2
)2+class="stub"3
4
≥class="stub"6
22-2+1
=2…（10分）
∴k＜2…（12分）
法2、∵f(x)=k(x-class="stub"1
2
)2+class="stub"3
4
k-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
∴
k＞0
f(x)max=f(2)=3k-6＜0
或
k＜0
f(x)max=f(1)=k-6＜0
或
k=0
f(x)=-6＜0

综上解得：k＜2

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