已知多项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n.(1)求f(－1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．-高二数学

题目简介

题目详情

已知多项式f(n)＝

n⁵＋

n⁴＋

n³－

n.
(1)求f(－1)及f(2)的值；
(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）0，17（2）见解析

(1)f(－1)＝0，f(2)＝17
(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数．
①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即f(k)＝

k5＋

k4＋

k3－

k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝

(k＋1)5＋

(k＋1)4＋

(k＋1)3－

(k＋1)
＝

＋

－

(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.
根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数．
∴f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．
由①、②可知对一切正整数n，f(n)是整数．
(Ⅰ)当n＝0时，f(0)＝0是整数
(Ⅱ)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(Ⅰ)知f(m)是整数，
所以f(n)＝f(－m)＝

(－m)5＋

(－m)4＋

(－m)3－

(－m)
＝－

m5＋

m4－

m3＋

m＝－f(m)＋m4是整数．
综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．

上一篇 : 已知数列{an}满足a1＝1，且4an＋1－ana
下一篇 : 在反应4FeS2+11O2═2Fe2O3+8SO

已知多项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n.(1)求f(－1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．-高二数学

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐