由下列式子1>121+12+13>11+12+13+14+15+16+17>321+12+13+…+115>2…猜想第n个表达式,并用数学归纳法给予证明.-数学

题目简介

由下列式子1>121+12+13>11+12+13+14+15+16+17>321+12+13+…+115>2…猜想第n个表达式,并用数学归纳法给予证明.-数学

题目详情

由下列式子 1>
1
2

1+
1
2
+
1
3
>1

1+
1
2
+
1
3
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1
4
+
1
5
+
1
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1
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3
2

1+
1
2
+
1
3
+…+
1
15
>2


猜想第n个表达式,并用数学归纳法给予证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

猜想1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n-1
>class="stub"n
2

证明:(1)当n=1时,成立;
(2)假设n=k时,成立,即1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2k-1
>class="stub"k
2

则n=k+1时,左边=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2k-1
+class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k+1-1
> class="stub"k
2
+class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k+1-1
,其中class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k+1-1
共有2k项,class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k+1-1
> 
2k
2k+1-1
2k
2k+1
=class="stub"1
2

所以1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2k-1
+class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k+1-1
>class="stub"k
2
+class="stub"1
2k
+…+class="stub"1
2k+1-1
>class="stub"k+1
2
,即n=k+1时,成立,
由(1)(2)可知,结论成立.

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