设f(x)是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，数列{an}满足a1=4，(n∈N*)；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Sn是数列{an}的前n项和，试比较

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设f(x) 是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，数列{a_n} 满足
a₁=4，(n∈N*)；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与6n²-2的大小。

题型：解答题难度：偏难来源：0103 模拟题

答案

解：（Ⅰ）由题设知可化为
，
∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数，
∴，即，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，
即an=。
（Ⅱ）Sn=a1+a2+a3+···+an =4(1+31+32+···+3n-1)=2(3n-1) ，
当n=1时，有Sn=6n2-2=4；
当n=2时，有Sn=16<6n2-2=22；
当n=3时，有Sn=6n2-2=52；
当n=4时，有Sn=160>6n2-2=94；
当n=5时，有Sn=484>6n2-2=148。
由此猜想当n≥4时，有Sn>6n2-23n-1>n2，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时显然成立；
②假设当n=k(k≥4，k∈N*)时，有3k-1>k2；
当n=k+1时，有3k=3·3k-1>3k2，
∵k≥4，
∴k(k-1)≥12， ∴3k2-(k-1)2=2k(k-1)-1>0即3k2>(k+1)2，
∴3k>3k2>(k+1)2， ∴3k>(k+1)2，因此当n=k+1时原式成立。
由①②可知，当n≥4时有3n-1>n2，
即Sn>6n2-2，
综上可知当n=1，3时，有Sn=6n2-2；当n=2时，有Sn<6n2-2；当n≥4时，有Sn>6n2-2。

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设f(x)是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，数列{an}满足a1=4，(n∈N*)；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Sn是数列{an}的前n项和，试比较

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