首页 > （本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.

（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.

题目简介

（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.

题目详情

（本小题满分16分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.
（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；                  
（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.                 
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）S1=a1=1.S2=，S3==，S4=，猜想Sn=（n∈N*）. 
（2）见解析
本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题．
（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．
（2）利用an=Sn-Sn-1，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得an．
（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）
∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）
∵a1=1，∴S1=a1=1.
∴S2=，S3==，S4=，                    ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
猜想Sn=（n∈N*）.                      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.
②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，
当n=k+1时，
Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，           
∴ak+1=，
∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，
∴n=k+1时等式也成立，得证.
∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
又∵ak+1=，∴an=.              ┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分

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