在数列|an|中，a1=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：an+1（an+tn-1）=an（tn+1-1），（n∈N+）（1）猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：an

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在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

题型：解答题难度：中档来源：武汉模拟

答案

（1）由原递推式得到an+1=

(tn+1-1)an

an+tn-1

，a2=

(t2-1)a1

a1+t-1

=class="stub"1

(t2-1)，a3=

(t3-1)a2

a2+t2-1

t3-1

猜想得到an=

tn-1

…（3分）
下面用数学归纳法证明an=

tn-1

10当n=1时 a1=t-1 满足条件
20假设当n=k时，ak=

tk-1

则ak+1(

tk-1

+tk-1)=

tk-1

(tk+1-1)，∴ak+1•class="stub"k-1

tk+1-1

，∴ak+1=

tk+1-1

k+1

即当n=k+1时，原命题也成立．
由10、20知an=

tn-1

…（7分）
（2）an+1-an=

tn+1-1

n+1

tn-1

=class="stub"1

n(n+1)

[n(tn+1-1)-(n+1)(tn-1)]=class="stub"1

n(n+1)

[ntn(t-1)-(tn-1)]=class="stub"t-1

n(n+1)

[ntn-(tn-1+tn-2+…+t+1)]
而ntn-（tn-1+tn-2+…+t+1）=（tn-tn-1）+（tn-tn-2）+…+（tn-t）+（tn-1）=tn-1（t-1）+tn-2（t2-1）+tn-3（t3-1）+…+t（tn-1-1）+（tn-1）=

＞0，t＞1

＜0，0＜t＜1

故t＞0，且t≠1时有an+1-an＞0，即an+1＞an…（13分）

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在数列|an|中，a1=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：an+1（an+tn-1）=an（tn+1-1），（n∈N+）（1）猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：an

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