（本小题满分12分）设数列的前n项和为且方程有一根为，n=1,2,3…,试求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明-高二数学

题目简介

（本小题满分12分）
设数列

的前n项和为

且方程

有一根为

，n=1,2,3…,试求

的值，猜想

的表达式，并用数学归纳法加以证明

题型：解答题难度：偏易来源：不详

由

，
当n=2时，由①得

，
当n=3时，由①得

，
猜想

n="1,2,3…" 证明见解析。

本试题主要是考查了数列的前n项和的表达式的求解和证明的综合运用。
（1）根据已知条件，对n令值，得到前几项的和，然后归纳猜想。
（2）运用数学归纳法加以证明，分为两步骤，注意要用到假设。
证明：

当n=1时，

当n≥2时，

，
代入（*）式得

① ……（3分）
当n=2时，由①得

……（4分）
当n=3时，由①得

……（5分）
可以看到上面表示的三个结果的分数中，分子与项数一致，分母是项数加1，
由此猜想

n=1,2,3… ……（6分）
下面用数学归纳法证明这个猜想：
（1）当n=1时已知猜想成立 ……（7分）
（2）假设n=k时猜想成立，即

则当n=k+1时，由①得

这就是说，当n=k+1时，猜想也成立 ……（10分）
根据（1）和（2），可知

对所有正整数n都成立 ……（12分）