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用数学归纳法证明不等式：1n+1n+1+1n+2+…+1n2＞1（n∈N*且n．1）．-数学

题目简介

用数学归纳法证明不等式：1n+1n+1+1n+2+…+1n2＞1（n∈N*且n．1）．-数学

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用数学归纳法证明不等式：

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n2

＞1（n∈N^*且n．1）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）当n=2时，左边=class="stub"1

2

+class="stub"1

3

+class="stub"1

4

=class="stub"13

12

＞1，∴n=2时成立（2分）
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即
class="stub"1

k

+class="stub"1

k+1

+class="stub"1

k+2

+…+class="stub"1

k2

＞1
那么当n=k+1时，左边=class="stub"1

k+1

+class="stub"1

k+2

+class="stub"1

k+3

+…+class="stub"1

(k+1)2

=class="stub"1

k

+class="stub"1

k+1

+class="stub"1

k+2

+class="stub"1

k+3

+…+class="stub"1

k2+2k

+class="stub"1

(k+1)2

-class="stub"1

k

＞1+class="stub"1

k2+1

+class="stub"1

k2+2

+…+class="stub"1

(k+1)2

-class="stub"1

k

＞1+(2k+1)•class="stub"1

(k+1)2

-class="stub"1

k

＞1+

k2-k-1

k2+2k+1

＞1
∴n=k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）

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