首页 > 已知数列{an}满足a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数，记bn=a2n，n∈N*．（1）求a2，a3；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）求S2n+1．-数学

已知数列{an}满足a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数，记bn=a2n，n∈N*．（1）求a2，a3；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）求S2n+1．-数学

题目简介

已知数列{an}满足a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数，记bn=a2n，n∈N*．（1）求a2，a3；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）求S2n+1．-数学

题目详情

已知数列{an}满足a1=1，an+1=
1
2
an+n，n为奇数
an-2n，n为偶数
，记bn=a2n，n∈N*．
（1）求a2，a3；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）求S2n+1．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当n=2时，a2=class="stub"1
2
a1+1=class="stub"1
2
+1=class="stub"3
2
；
当n=3时，a3=a2-2×2=class="stub"3
2
-4=-class="stub"5
2
．
（2）当n≥2时，bn=a2n=a（2n-1）+1=class="stub"1
2
a2n-1+（2n-1）
=class="stub"1
2
[a2n-2-2（2n-2）]+（2n-1）=class="stub"1
2
a2（n-1）+1=class="stub"1
2
bn-1+1
∴bn-2=class="stub"1
2
（bn-1-2），又b1-2=a2-2=-class="stub"1
2
，
∴bn-2=-class="stub"1
2
•（class="stub"1
2
）n-1=-（class="stub"1
2
）n，即bn=2-（class="stub"1
2
）n．
（3）∵a2n+1=a2n-4n=bn-4n
∴S2n+1=a1+a2+…+a2n+a2n+1
=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+a5+…+a2n+1）
=（b1+b2+…+bn）+[a1+（b1-4×1）+（b2-4×2）+…+（bn-4×n）]
=a1+2（b1+b2+…+bn）-4×（1+2+…+n）
=1+2（2n-
class="stub"1
2
[1-(-class="stub"1
2
)n]
1-class="stub"1
2
）-4×
n(n+1)
2

=（class="stub"1
2
）n-1-2n2+2n-1．

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