已知函数f(x)=sin2x+3cos2x+23sinxcosx-2,(1)求函数f(x)的最大值及单调递减区间;(2)若f(α)=85(π6<α<2π3),求cos2α的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin2x+3cos2x+23sinxcosx-2,(1)求函数f(x)的最大值及单调递减区间;(2)若f(α)=85(π6<α<2π3),求cos2α的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=sin2x+3cos2x+2
3
sinxcosx-2

(1)求函数f(x)的最大值及单调递减区间;
(2)若f(α)=
8
5
(
π
6
<α<
3
)
,求cos2α的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)化简得f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
)

当三角函数取到最大值时,函数式取到最大值2
故函数f(x)的最大值为2,
根据正弦函数的单调性可知当2x+class="stub"π
6
∈[2kπ+class="stub"π
2
,2kπ+class="stub"3π
2
]

∴x∈[kπ+class="stub"π
6
,kπ+class="stub"2π
3
](k∈Z)

∴单调递减区间为[kπ+class="stub"π
6
,kπ+class="stub"2π
3
](k∈Z)

(2)由f(α)=class="stub"8
5
(class="stub"π
6
<α<class="stub"2π
3
)

可得sin(2α+class="stub"π
6
)=class="stub"4
5
,cos(2α+class="stub"π
6
)=-class="stub"3
5

class="stub"π
6
<α<class="stub"2π
3

class="stub"π
2
<2α+class="stub"π
6
<class="stub"3π
2

cos(2α+class="stub"π
6
)=-class="stub"3
5

cos2α=cos(2α+class="stub"π
6
-class="stub"π
6
)=cos(2α+class="stub"π
6
)cosclass="stub"π
6
+sin(2α+class="stub"π
6
)sinclass="stub"π
6
=
4-3
3
10

更多内容推荐