已知数列{an}的各项分别为1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,求{an}的前n项和Sn.-数学

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已知数列{an}的各项分别为1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,求{an}的前n项和Sn.-数学

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已知数列{an}的各项分别为1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,求{an}的前n项和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

an=an-1+an+…+a2n-2
当a=1时,an=n,Sn=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

当a≠1时,由登比数列的求和公式可得,an=
an-1(1-an)
1-a
=
an-1-a2n-1
1-a

Sn=class="stub"1
1-a
[(1+a+a2+…+an-1)-(a+a3+…+a2n-1)]

①当a≠±1时,Sn=class="stub"1
1-a
[
1-an
1-a
-
a(1-a2n)
1-a2
]

②当a=-1时,Sn=class="stub"1
2
[1-1+1-1+…(-1)n-1-(-1-1-1…-1)]
=class="stub"1
2
[1-1+1-1…(-1)n-1]-n
×(-1)×class="stub"1
2

(1)当n为奇数时,Sn=class="stub"1
2
×1+class="stub"1
2
n
Sn=class="stub"1+n
2

(2)当n为偶数时,Sn=class="stub"1
2
×0+class="stub"1
2
×n
Sn=class="stub"n
2

综上可得,当a=1时,Sn=
n(n+1)
2

当a=-1时,Sn=
class="stub"n+1
2
,n为奇数
class="stub"n
2
,n为偶数

当a≠±1时,Sn=class="stub"1
1-a
[
1-an
1-a
-
a(1-a2n)
1-a2
]

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